Rezolvați x^2+25x=-84

$$x ^ { 2 } + 25 x = - 84$$

Rezolvați pentru x

$$x=-21$$

$$x=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Adăugați 84 la ambele părți.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+25x+84 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=25 ab=84$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Soluția este perechea care dă suma de 25.

$$a=4 b=21$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+4=0 și x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 84 la ambele părți.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+84. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=25 ab=1\times 84=84$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Soluția este perechea care dă suma de 25.

$$a=4 b=21$$

Rescrieți x^{2}+25x+84 ca \left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right)$$

Factor x în primul și 21 în al doilea grup.

$$x\left(x+4\right)+21\left(x+4\right)$$

Scoateți termenul comun x+4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+4=0 și x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+25x=-84$$

Adunați 84 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=-84-\left(-84\right)$$

Scăderea -84 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=0$$

Scădeți -84 din 0.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 25 și c cu 84 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 84}}{2}$$

Ridicați 25 la pătrat.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 84}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 84.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-336}}{2}$$

Adunați 625 cu -336.

$$x=\frac{-25±\sqrt{289}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-25±17}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-25±17}{2} atunci când ± este plus. Adunați -25 cu 17.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$x=-4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-25±17}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din -25.

$$x=-\frac{42}{2}$$

Împărțiți -42 la 2.

$$x=-21$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-4 x=-21$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x=-84$$

Împărțiți 25, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{25}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{25}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-84+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{25}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-84+\frac{625}{4}$$

Adunați -84 cu \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{289}{4}$$

Factor x^{2}+25x+\frac{625}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{17}{2}$$

Scădeți \frac{25}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-4 x=-21$$