Rezolvați x^2+22x-240=0

$$x ^ { 2 } + 22 x - 240 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-30$$

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+22x-240 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=22 ab=-240$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -240.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 22.

$$a=-8 b=30$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-8\right)\left(x+30\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și x+30=0.

$$x=8 x=-30$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-240. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=22 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -240.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 22.

$$a=-8 b=30$$

Rescrieți x^{2}+22x-240 ca \left(x^{2}-8x\right)+\left(30x-240\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(30x-240\right)$$

Factor x în primul și 30 în al doilea grup.

$$x\left(x-8\right)+30\left(x-8\right)$$

Scoateți termenul comun x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-8\right)\left(x+30\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și x+30=0.

$$x=8 x=-30$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+22x-240=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 22 și c cu -240 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-240\right)}}{2}$$

Ridicați 22 la pătrat.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-240\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -240.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484+960}}{2}$$

Adunați 484 cu 960.

$$x=\frac{-22±\sqrt{1444}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1444.

$$x=\frac{-22±38}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-22±38}{2} atunci când ± este plus. Adunați -22 cu 38.

$$x=\frac{16}{2}$$

Împărțiți 16 la 2.

$$x=8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-22±38}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 38 din -22.

$$x=-\frac{60}{2}$$

Împărțiți -60 la 2.

$$x=-30$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=8 x=-30$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+22x-240=0$$

Adunați 240 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+22x-240-\left(-240\right)=-\left(-240\right)$$

Scăderea -240 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+22x=-\left(-240\right)$$

Scădeți -240 din 0.

$$x^{2}+22x=240$$

Împărțiți 22, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 11. Apoi, adunați pătratul lui 11 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+22x+11^{2}=240+11^{2}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x^{2}+22x+121=240+121$$

Adunați 240 cu 121.

$$x^{2}+22x+121=361$$

Factor x^{2}+22x+121. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+11\right)^{2}=361$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+11\right)^{2}}=\sqrt{361}$$

Simplificați.

$$x+11=19 x+11=-19$$

Scădeți 11 din ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=-30$$