Rezolvați x^2+20x=-75

$$x ^ { 2 } + 20 x = - 75$$

Rezolvați pentru x

$$x=-15$$

$$x=-5$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Adăugați 75 la ambele părți.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+20x+75 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=20 ab=75$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Soluția este perechea care dă suma de 20.

$$a=5 b=15$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+5=0 și x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 75 la ambele părți.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+75. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=20 ab=1\times 75=75$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Soluția este perechea care dă suma de 20.

$$a=5 b=15$$

Rescrieți x^{2}+20x+75 ca \left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right)$$

Factor x în primul și 15 în al doilea grup.

$$x\left(x+5\right)+15\left(x+5\right)$$

Scoateți termenul comun x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+5=0 și x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+20x=-75$$

Adunați 75 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=-75-\left(-75\right)$$

Scăderea -75 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=0$$

Scădeți -75 din 0.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 20 și c cu 75 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 75}}{2}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 75}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2}$$

Adunați 400 cu -300.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-20±10}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±10}{2} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 10.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Împărțiți -10 la 2.

$$x=-5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±10}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -20.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Împărțiți -30 la 2.

$$x=-15$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-5 x=-15$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+20x=-75$$

Împărțiți 20, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 10. Apoi, adunați pătratul lui 10 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-75+10^{2}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x^{2}+20x+100=-75+100$$

Adunați -75 cu 100.

$$x^{2}+20x+100=25$$

Factor x^{2}+20x+100. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=25$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplificați.

$$x+10=5 x+10=-5$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-5 x=-15$$