Rezolvați x^2+2x-15=0

$$x ^ { 2 } + 2 x - 15 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}+2x-15 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=2 ab=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -15 de produs.

$$-1,15 -3,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-3 b=5$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-3=0 și x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -15 de produs.

$$-1,15 -3,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-3 b=5$$

Rescrieți x^{2}+2x-15 ca \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 5 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-3=0 și x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 2 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-15\right)}}{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-15\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2}$$

Adunați 4 cu 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-2±8}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±8}{2} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 8.

$$x=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±8}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din -2.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Împărțiți -10 la 2.

$$x=-5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Scăderea -15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

Scădeți -15 din 0.

$$x^{2}+2x=15$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Adunați 15 cu 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Factorul x^{2}+2x+1. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-5$$