Rezolvați x^2+16x-512=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-32$$

$$x=16$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+16x-512 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=16 ab=-512$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Soluția este perechea care dă suma de 16.

$$a=-16 b=32$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-16=0 și x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-512. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Soluția este perechea care dă suma de 16.

$$a=-16 b=32$$

Rescrieți x^{2}+16x-512 ca \left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

Factor x în primul și 32 în al doilea grup.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

Scoateți termenul comun x-16 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-16=0 și x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 16 și c cu -512 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

Ridicați 16 la pătrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

Adunați 256 cu 2048.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2304.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±48}{2} atunci când ± este plus. Adunați -16 cu 48.

$$x=\frac{32}{2}$$

Împărțiți 32 la 2.

$$x=16$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±48}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 48 din -16.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Împărțiți -64 la 2.

$$x=-32$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=16 x=-32$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Adunați 512 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

Scăderea -512 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

Scădeți -512 din 0.

$$x^{2}+16x=512$$

Împărțiți 16, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 8. Apoi, adunați pătratul lui 8 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

Adunați 512 cu 64.

$$x^{2}+16x+64=576$$

Factor x^{2}+16x+64. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Simplificați.

$$x+8=24 x+8=-24$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$x=16 x=-32$$