Rezolvați x^2+14x+45=0

$$x ^ { 2 } + 14 x + 45 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-9$$

$$x=-5$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+14x+45 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=45$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 45.

$$1,45 3,15 5,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=5 b=9$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+5=0 și x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+45. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=1\times 45=45$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 45.

$$1,45 3,15 5,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=5 b=9$$

Rescrieți x^{2}+14x+45 ca \left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right)$$

Factor x în primul și 9 în al doilea grup.

$$x\left(x+5\right)+9\left(x+5\right)$$

Scoateți termenul comun x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+5=0 și x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 14 și c cu 45 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 45}}{2}$$

Ridicați 14 la pătrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 45}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 45.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-180}}{2}$$

Adunați 196 cu -180.

$$x=\frac{-14±\sqrt{16}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-14±4}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±4}{2} atunci când ± este plus. Adunați -14 cu 4.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Împărțiți -10 la 2.

$$x=-5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±4}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -14.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Împărțiți -18 la 2.

$$x=-9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-5 x=-9$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Scădeți 45 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+14x+45-45=-45$$

Scăderea 45 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+14x=-45$$

Împărțiți 14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 7. Apoi, adunați pătratul lui 7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-45+7^{2}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x^{2}+14x+49=-45+49$$

Adunați -45 cu 49.

$$x^{2}+14x+49=4$$

Factor x^{2}+14x+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x+7=2 x+7=-2$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-5 x=-9$$