Rezolvați x^2+11x=-24

$$x ^ { 2 } + 11 x = - 24$$

Rezolvați pentru x

$$x=-8$$

$$x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Adăugați 24 la ambele părți.

$$x^{2}+11x+24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+11x+24 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=3 b=8$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+3\right)\left(x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+3=0 și x+8=0.

$$x=-3 x=-8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 24 la ambele părți.

$$x^{2}+11x+24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=1\times 24=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=3 b=8$$

Rescrieți x^{2}+11x+24 ca \left(x^{2}+3x\right)+\left(8x+24\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(8x+24\right)$$

Factor x în primul și 8 în al doilea grup.

$$x\left(x+3\right)+8\left(x+3\right)$$

Scoateți termenul comun x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+3\right)\left(x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+3=0 și x+8=0.

$$x=-3 x=-8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+11x=-24$$

Adunați 24 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Scăderea -24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Scădeți -24 din 0.

$$x^{2}+11x+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 11 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 24}}{2}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 24}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2}$$

Adunați 121 cu -96.

$$x=\frac{-11±\sqrt{25}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-11±5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±5}{2} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 5.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Împărțiți -6 la 2.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±5}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -11.

$$x=-\frac{16}{2}$$

Împărțiți -16 la 2.

$$x=-8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3 x=-8$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+11x=-24$$

Împărțiți 11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Adunați -24 cu \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}+11x+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Scădeți \frac{11}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-3 x=-8$$