Rezolvați x^2+(x-2)^2=100

$$x ^ { 2 } + ( x - 2 ) ^ { 2 } = 100$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Scădeți 100 din ambele părți.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Scădeți 100 din 4 pentru a obține -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x^{2}-2x-48=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-48. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=-8 b=6$$

Rescrieți x^{2}-2x-48 ca \left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right)$$

Factor x în primul și 6 în al doilea grup.

$$x\left(x-8\right)+6\left(x-8\right)$$

Scoateți termenul comun x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-8\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și x+6=0.

$$x=8 x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Scădeți 100 din ambele părți.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Scădeți 100 din 4 pentru a obține -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -4 și c cu -96 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+768}}{2\times 2}$$

Adunați 16 cu 768.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 784.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±28}{2\times 2}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±28}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{4±28}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±28}{4} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 28.

$$x=\frac{32}{4}$$

Împărțiți 32 la 4.

$$x=8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±28}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 28 din 4.

$$x=-\frac{24}{4}$$

Împărțiți -24 la 4.

$$x=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=8 x=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$2x^{2}-4x=100-4$$

Scădeți 4 din 100 pentru a obține 96.

$$2x^{2}-4x=96$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{96}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{96}{2}$$

Împărțiți -4 la 2.

$$x^{2}-2x=\frac{96}{2}$$

Împărțiți 96 la 2.

$$x^{2}-2x=48$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=48+1$$

Adunați 48 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=49$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=49$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Simplificați.

$$x-1=7 x-1=-7$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=-6$$