Rezolvați x^2+(x+3/2)^2-8x-2(x+3/2)+7=0

$$x ^ { 2 } + ( \frac { x + 3 } { 2 } ) ^ { 2 } - 8 x - 2 ( \frac { x + 3 } { 2 } ) + 7 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Pentru a ridica \frac{x+3}{2} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți x^{2}-8x cu \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Deoarece \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} și \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Faceți înmulțiri în \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Combinați termeni similari în 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Exprimați 2\times \frac{x+3}{2} ca fracție unică.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Reduceți prin eliminare 2 și 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

Pentru a găsi opusul lui x+3, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți -x-3 cu \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Deoarece \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} și \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Faceți înmulțiri în 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Combinați termeni similari în 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Exprimați 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} ca fracție unică.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Reduceți prin eliminare 2 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Împărțiți fiecare termen din 5x^{2}-30x-3 la 2 pentru a obține \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Adunați -\frac{3}{2} și 14 pentru a obține \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{5}{2}, b cu -15 și c cu \frac{25}{2} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-10\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Înmulțiți -10 cu \frac{25}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-125}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Adunați 225 cu -125.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{100}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{5}{2}.

$$x=\frac{15±10}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±10}{5} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 10.

$$x=\frac{25}{5}$$

Împărțiți 25 la 5.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±10}{5} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din 15.

$$x=\frac{5}{5}$$

Împărțiți 5 la 5.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Pentru a ridica \frac{x+3}{2} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți x^{2}-8x cu \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Deoarece \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} și \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Faceți înmulțiri în \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Combinați termeni similari în 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Exprimați 2\times \frac{x+3}{2} ca fracție unică.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Reduceți prin eliminare 2 și 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

Pentru a găsi opusul lui x+3, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți -x-3 cu \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Deoarece \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} și \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Faceți înmulțiri în 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Combinați termeni similari în 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Exprimați 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} ca fracție unică.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Reduceți prin eliminare 2 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Împărțiți fiecare termen din 5x^{2}-30x-3 la 2 pentru a obține \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Adunați -\frac{3}{2} și 14 pentru a obține \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Scădeți \frac{25}{2} din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x=-\frac{25}{2}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{5}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$\frac{\frac{5}{2}x^{2}-15x}{\frac{5}{2}}=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Împărțirea la \frac{5}{2} anulează înmulțirea cu \frac{5}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{\frac{5}{2}}\right)x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Împărțiți -15 la \frac{5}{2} înmulțind pe -15 cu reciproca lui \frac{5}{2}.

$$x^{2}-6x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Împărțiți -\frac{25}{2} la \frac{5}{2} înmulțind pe -\frac{25}{2} cu reciproca lui \frac{5}{2}.

$$x^{2}-6x=-5$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Adunați -5 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Factor x^{2}-6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=1$$