Rezolvați x+y=3;x-y=4

$$x + y = 3 ; x - y = 4$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=3,x-y=4$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=3$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y+3$$

Înlocuiți x cu -y+3 în cealaltă ecuație, x-y=4.

$$-y+3-y=4$$

Adunați -y cu -y.

$$-2y+3=4$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$-2y=1$$

Se împart ambele părți la -2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Înlocuiți y cu -\frac{1}{2} în x=-y+3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)+3$$

Înmulțiți -1 cu -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}+3$$

Adunați 3 cu \frac{1}{2}.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+y=3,x-y=4$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+y=3,x-y=4$$

Scădeți pe x-y=4 din x+y=3 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-x+y+y=3-4$$

Adunați x cu -x. Termenii x și -x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$y+y=3-4$$

Adunați y cu y.

$$2y=3-4$$

Adunați 3 cu -4.

$$2y=-1$$

Se împart ambele părți la 2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Înlocuiți y cu -\frac{1}{2} în x-y=4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x-\left(-\frac{1}{2}\right)=4$$

Înmulțiți -1 cu -\frac{1}{2}.

$$x+\frac{1}{2}=4$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$