Rezolvați x+y=1;2x+3y=01/6

$$x + y = 1 ; 2 x + 3 y = 0 \frac { 1 } { 6 }$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} \approx 2,833333333$$

$$y = -\frac{11}{6} = -1\frac{5}{6} \approx -1,833333333$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=1,2x+3y=\frac{1}{6}$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=1$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y+1$$

Înlocuiți x cu -y+1 în cealaltă ecuație, 2x+3y=\frac{1}{6}.

$$2\left(-y+1\right)+3y=\frac{1}{6}$$

Înmulțiți 2 cu -y+1.

$$-2y+2+3y=\frac{1}{6}$$

Adunați -2y cu 3y.

$$y+2=\frac{1}{6}$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$y=-\frac{11}{6}$$

Înlocuiți y cu -\frac{11}{6} în x=-y+1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\left(-\frac{11}{6}\right)+1$$

Înmulțiți -1 cu -\frac{11}{6}.

$$x=\frac{11}{6}+1$$

Adunați 1 cu \frac{11}{6}.

$$x=\frac{17}{6}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{17}{6},y=-\frac{11}{6}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+y=1,2x+3y=\frac{1}{6}$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-\frac{1}{6}\\-2+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{6}\\-\frac{11}{6}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{17}{6},y=-\frac{11}{6}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+y=1,2x+3y=\frac{1}{6}$$

Pentru a egala x și 2x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$2x+2y=2,2x+3y=\frac{1}{6}$$

Scădeți pe 2x+3y=\frac{1}{6} din 2x+2y=2 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$2x-2x+2y-3y=2-\frac{1}{6}$$

Adunați 2x cu -2x. Termenii 2x și -2x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$2y-3y=2-\frac{1}{6}$$

Adunați 2y cu -3y.

$$-y=2-\frac{1}{6}$$

Adunați 2 cu -\frac{1}{6}.

$$-y=\frac{11}{6}$$

Se împart ambele părți la -1.

$$y=-\frac{11}{6}$$

Înlocuiți y cu -\frac{11}{6} în 2x+3y=\frac{1}{6}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$2x+3\left(-\frac{11}{6}\right)=\frac{1}{6}$$

Înmulțiți 3 cu -\frac{11}{6}.

$$2x-\frac{11}{2}=\frac{1}{6}$$

Adunați \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$2x=\frac{17}{3}$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{17}{6}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{17}{6},y=-\frac{11}{6}$$