Rezolvați x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+3y=6$$

Scădeți 3y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-3y+6$$

Înlocuiți x cu -3y+6 în cealaltă ecuație, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Înmulțiți 5 cu -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Adunați -15y cu -2y.

$$-17y+30=13$$

Scădeți 30 din ambele părți ale ecuației.

$$-17y=-17$$

Se împart ambele părți la -17.

$$y=1$$

Înlocuiți y cu 1 în x=-3y+6. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-3+6$$

Adunați 6 cu -3.

$$x=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=3,y=1$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=3,y=1$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Pentru a egala x și 5x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 5 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Simplificați.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Scădeți pe 5x-2y=13 din 5x+15y=30 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Adunați 5x cu -5x. Termenii 5x și -5x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$15y+2y=30-13$$

Adunați 15y cu 2y.

$$17y=30-13$$

Adunați 30 cu -13.

$$17y=17$$

Se împart ambele părți la 17.

$$y=1$$

Înlocuiți y cu 1 în 5x-2y=13. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$5x-2=13$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$5x=15$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=3,y=1$$