Rezolvați x+3*(x-3)-(x^2-4x)=9

$$x + 3 \cdot ( x - 3 ) - ( x ^ { 2 } - 4 x ) = 9$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-\sqrt{2}i+4\approx 4-1,414213562i$$

$$x=4+\sqrt{2}i\approx 4+1,414213562i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x-3.

$$x+3x-9-\left(x^{2}-4x\right)=9$$

Combinați x cu 3x pentru a obține 4x.

$$4x-9-\left(x^{2}-4x\right)=9$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-4x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x-9-x^{2}+4x=9$$

Combinați 4x cu 4x pentru a obține 8x.

$$8x-9-x^{2}=9$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$8x-9-x^{2}-9=0$$

Scădeți 9 din -9 pentru a obține -18.

$$8x-18-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+8x-18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 8 și c cu -18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -18.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-72}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 64 cu -72.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -8.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{2}i}{-2}$$

Împărțiți -8+2i\sqrt{2} la -2.

$$x=-\sqrt{2}i+4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{2} din -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-8}{-2}$$

Împărțiți -8-2i\sqrt{2} la -2.

$$x=4+\sqrt{2}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\sqrt{2}i+4 x=4+\sqrt{2}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x-3.

$$x+3x-9-\left(x^{2}-4x\right)=9$$

Combinați x cu 3x pentru a obține 4x.

$$4x-9-\left(x^{2}-4x\right)=9$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-4x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4x-9-x^{2}+4x=9$$

Combinați 4x cu 4x pentru a obține 8x.

$$8x-9-x^{2}=9$$

Adăugați 9 la ambele părți.

$$8x-x^{2}=9+9$$

Adunați 9 și 9 pentru a obține 18.

$$8x-x^{2}=18$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x=18$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=\frac{18}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=\frac{18}{-1}$$

Împărțiți 8 la -1.

$$x^{2}-8x=\frac{18}{-1}$$

Împărțiți 18 la -1.

$$x^{2}-8x=-18$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-18+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x^{2}-8x+16=-18+16$$

Adunați -18 cu 16.

$$x^{2}-8x+16=-2$$

Factor x^{2}-8x+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-2$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Simplificați.

$$x-4=\sqrt{2}i x-4=-\sqrt{2}i$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$x=4+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+4$$