Rezolvați x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+2y=-1$$

Scădeți 2y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-2y-1$$

Înlocuiți x cu -2y-1 în cealaltă ecuație, 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Înmulțiți 2 cu -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Adunați -4y cu -3y.

$$-7y-2=12$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$-7y=14$$

Se împart ambele părți la -7.

$$y=-2$$

Înlocuiți y cu -2 în x=-2y-1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Înmulțiți -2 cu -2.

$$x=4-1$$

Adunați -1 cu 4.

$$x=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=3,y=-2$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=3,y=-2$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Pentru a egala x și 2x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Simplificați.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Scădeți pe 2x-3y=12 din 2x+4y=-2 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Adunați 2x cu -2x. Termenii 2x și -2x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$4y+3y=-2-12$$

Adunați 4y cu 3y.

$$7y=-2-12$$

Adunați -2 cu -12.

$$7y=-14$$

Se împart ambele părți la 7.

$$y=-2$$

Înlocuiți y cu -2 în 2x-3y=12. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Înmulțiți -3 cu -2.

$$2x+6=12$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$2x=6$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=3,y=-2$$