Rezolvați x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combinați 6x cu 9x pentru a obține 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combinați 15x cu -2x pentru a obține 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Adunați 3 și 4 pentru a obține 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Scădeți 6x^{2} din ambele părți.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Adăugați 12 la ambele părți.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Adunați 7 și 12 pentru a obține 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -6x^{2}+ax+bx+19. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=19 b=-6$$

Rescrieți -6x^{2}+13x+19 ca \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Scoateți termenul comun 6x-19 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 6x-19=0 și -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combinați 6x cu 9x pentru a obține 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combinați 15x cu -2x pentru a obține 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Adunați 3 și 4 pentru a obține 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Scădeți 6x^{2} din ambele părți.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Adăugați 12 la ambele părți.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Adunați 7 și 12 pentru a obține 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -6, b cu 13 și c cu 19 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți 24 cu 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Adunați 169 cu 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±25}{-12} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Împărțiți 12 la -12.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±25}{-12} atunci când ± este minus. Scădeți 25 din -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Reduceți fracția \frac{-38}{-12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combinați 6x cu 9x pentru a obține 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combinați 15x cu -2x pentru a obține 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Adunați 3 și 4 pentru a obține 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Scădeți 6x^{2} din ambele părți.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Scădeți 7 din ambele părți.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Scădeți 7 din -12 pentru a obține -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Se împart ambele părți la -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Împărțirea la -6 anulează înmulțirea cu -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Împărțiți 13 la -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Împărțiți -19 la -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Împărțiți -\frac{13}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Adunați \frac{19}{6} cu \frac{169}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Adunați \frac{13}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$