Rezolvați w^2-11w+30=0

$$w ^ { 2 } - 11 w + 30 = 0$$

Rezolvați pentru w

$$w=5$$

$$w=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori w^{2}-11w+30 utilizând formula w^{2}+\left(a+b\right)w+ab=\left(w+a\right)\left(w+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-11 ab=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 30 de produs.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-6 b=-5$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(w+a\right)\left(w+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(w-6\right)\left(w-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați w-6=0 și w-5=0.

$$w=6 w=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca w^{2}+aw+bw+30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-11 ab=1\times 30=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 30 de produs.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-6 b=-5$$

Rescrieți w^{2}-11w+30 ca \left(w^{2}-6w\right)+\left(-5w+30\right).

$$\left(w^{2}-6w\right)+\left(-5w+30\right)$$

Scoateți scoateți factorul w din primul și -5 din cel de-al doilea grup.

$$w\left(w-6\right)-5\left(w-6\right)$$

Scoateți termenul comun w-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(w-6\right)\left(w-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați w-6=0 și w-5=0.

$$w=6 w=5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$w^{2}-11w+30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -11 și c cu 30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$w=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 30}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 30.

$$w=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2}$$

Adunați 121 cu -120.

$$w=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$w=\frac{-\left(-11\right)±1}{2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$w=\frac{11±1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{11±1}{2} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 1.

$$w=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$w=6$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{11±1}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 11.

$$w=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$w=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$w=6 w=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$w^{2}-11w+30=0$$

Scădeți 30 din ambele părți ale ecuației.

$$w^{2}-11w+30-30=-30$$

Scăderea 30 din el însuși are ca rezultat 0.

$$w^{2}-11w=-30$$

Împărțiți -11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$w^{2}-11w+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$w^{2}-11w+\frac{121}{4}=-30+\frac{121}{4}$$

Adunați -30 cu \frac{121}{4}.

$$w^{2}-11w+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}$$

Factorul w^{2}-11w+\frac{121}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(w-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$w-\frac{11}{2}=\frac{1}{2} w-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$w=6 w=5$$