Rezolvați u^2-20u-47=0

$$u ^ { 2 } - 20 u - 47 = 0$$

Rezolvați pentru u

$$u=7\sqrt{3}+10\approx 22,124355653$$

$$u=10-7\sqrt{3}\approx -2,124355653$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$u^{2}-20u-47=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -20 și c cu -47 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\left(-47\right)}}{2}$$

Ridicați -20 la pătrat.

$$u=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\left(-47\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -47.

$$u=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+188}}{2}$$

Adunați 400 cu 188.

$$u=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{588}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 588.

$$u=\frac{-\left(-20\right)±14\sqrt{3}}{2}$$

Opusul lui -20 este 20.

$$u=\frac{20±14\sqrt{3}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația u=\frac{20±14\sqrt{3}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 20 cu 14\sqrt{3}.

$$u=\frac{14\sqrt{3}+20}{2}$$

Împărțiți 20+14\sqrt{3} la 2.

$$u=7\sqrt{3}+10$$

Acum rezolvați ecuația u=\frac{20±14\sqrt{3}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 14\sqrt{3} din 20.

$$u=\frac{20-14\sqrt{3}}{2}$$

Împărțiți 20-14\sqrt{3} la 2.

$$u=10-7\sqrt{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$u=7\sqrt{3}+10 u=10-7\sqrt{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$u^{2}-20u-47=0$$

Adunați 47 la ambele părți ale ecuației.

$$u^{2}-20u-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Scăderea -47 din el însuși are ca rezultat 0.

$$u^{2}-20u=-\left(-47\right)$$

Scădeți -47 din 0.

$$u^{2}-20u=47$$

Împărțiți -20, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -10. Apoi, adunați pătratul lui -10 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$u^{2}-20u+\left(-10\right)^{2}=47+\left(-10\right)^{2}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$u^{2}-20u+100=47+100$$

Adunați 47 cu 100.

$$u^{2}-20u+100=147$$

Factor u^{2}-20u+100. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u-10\right)^{2}=147$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(u-10\right)^{2}}=\sqrt{147}$$

Simplificați.

$$u-10=7\sqrt{3} u-10=-7\sqrt{3}$$

Adunați 10 la ambele părți ale ecuației.

$$u=7\sqrt{3}+10 u=10-7\sqrt{3}$$