Rezolvați t^2-6t+1geq0

$$t ^ { 2 } - 6 t + 1 \geq 0$$

Rezolvați pentru t

$$t\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2}+3,\infty)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$t^{2}-6t+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -6 și c cu 1.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=2\sqrt{2}+3 t=3-2\sqrt{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$\left(t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\right)\left(t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\right)\geq 0$$

Pentru ca produsul să fie ≥0, t-\left(2\sqrt{2}+3\right) și t-\left(3-2\sqrt{2}\right) trebuie să fie ambele fie ≤0, fie ≥0. Tratați cazul în care atât t-\left(2\sqrt{2}+3\right), cât și t-\left(3-2\sqrt{2}\right) sunt ≤0.

$$t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\leq 0 t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este t\leq 3-2\sqrt{2}.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}$$

Tratați cazul în care atât t-\left(2\sqrt{2}+3\right), cât și t-\left(3-2\sqrt{2}\right) sunt ≥0.

$$t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\geq 0 t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\geq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este t\geq 2\sqrt{2}+3.

$$t\geq 2\sqrt{2}+3$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}\text{; }t\geq 2\sqrt{2}+3$$