Rezolvați t^2-46t+360=0

$$t ^ { 2 } - 46 t + 360 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t=10$$

$$t=36$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul t^{2}-46t+360 utilizând formula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-46 ab=360$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Soluția este perechea care dă suma de -46.

$$a=-36 b=-10$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(t+a\right)\left(t+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(t-36\right)\left(t-10\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-36=0 și t-10=0.

$$t=36 t=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca t^{2}+at+bt+360. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-46 ab=1\times 360=360$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Soluția este perechea care dă suma de -46.

$$a=-36 b=-10$$

Rescrieți t^{2}-46t+360 ca \left(t^{2}-36t\right)+\left(-10t+360\right).

$$\left(t^{2}-36t\right)+\left(-10t+360\right)$$

Factor t în primul și -10 în al doilea grup.

$$t\left(t-36\right)-10\left(t-36\right)$$

Scoateți termenul comun t-36 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-36\right)\left(t-10\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-36=0 și t-10=0.

$$t=36 t=10$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$t^{2}-46t+360=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -46 și c cu 360 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 360}}{2}$$

Ridicați -46 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 360}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 360.

$$t=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1440}}{2}$$

Adunați 2116 cu -1440.

$$t=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{676}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 676.

$$t=\frac{-\left(-46\right)±26}{2}$$

Opusul lui -46 este 46.

$$t=\frac{46±26}{2}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{46±26}{2} atunci când ± este plus. Adunați 46 cu 26.

$$t=\frac{72}{2}$$

Împărțiți 72 la 2.

$$t=36$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{46±26}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 26 din 46.

$$t=\frac{20}{2}$$

Împărțiți 20 la 2.

$$t=10$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=36 t=10$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-46t+360=0$$

Scădeți 360 din ambele părți ale ecuației.

$$t^{2}-46t+360-360=-360$$

Scăderea 360 din el însuși are ca rezultat 0.

$$t^{2}-46t=-360$$

Împărțiți -46, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -23. Apoi, adunați pătratul lui -23 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-46t+\left(-23\right)^{2}=-360+\left(-23\right)^{2}$$

Ridicați -23 la pătrat.

$$t^{2}-46t+529=-360+529$$

Adunați -360 cu 529.

$$t^{2}-46t+529=169$$

Factor t^{2}-46t+529. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-23\right)^{2}=169$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-23\right)^{2}}=\sqrt{169}$$

Simplificați.

$$t-23=13 t-23=-13$$

Adunați 23 la ambele părți ale ecuației.

$$t=36 t=10$$