Rezolvați t^2-3t-4=0

$$t ^ { 2 } - 3 t - 4 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori t^{2}-3t-4 utilizând formula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-3 ab=-4$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -4 de produs.

$$1,-4 2,-2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-4 b=1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(t+a\right)\left(t+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați t-4=0 și t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca t^{2}+at+bt-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -4 de produs.

$$1,-4 2,-2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-4 b=1$$

Rescrieți t^{2}-3t-4 ca \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Scoateți factorul comun t din t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Scoateți termenul comun t-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați t-4=0 și t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -3 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2}$$

Adunați 9 cu 16.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±5}{2}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$t=\frac{3±5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{3±5}{2} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 5.

$$t=\frac{8}{2}$$

Împărțiți 8 la 2.

$$t=4$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{3±5}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 3.

$$t=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$t=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=4 t=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$t^{2}-3t-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$t^{2}-3t=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$t^{2}-3t=4$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Adunați 4 cu \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Factorul t^{2}-3t+\frac{9}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$t=4 t=-1$$