Rezolvați t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul t^{2}-24t-180 utilizând formula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -24.

$$a=-30 b=6$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(t+a\right)\left(t+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-30=0 și t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca t^{2}+at+bt-180. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -24.

$$a=-30 b=6$$

Rescrieți t^{2}-24t-180 ca \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Factor t în primul și 6 în al doilea grup.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Scoateți termenul comun t-30 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-30=0 și t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -24 și c cu -180 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Adunați 576 cu 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{24±36}{2} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Împărțiți 60 la 2.

$$t=30$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{24±36}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 36 din 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Împărțiți -12 la 2.

$$t=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=30 t=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Adunați 180 la ambele părți ale ecuației.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Scăderea -180 din el însuși are ca rezultat 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Scădeți -180 din 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Împărțiți -24, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -12. Apoi, adunați pătratul lui -12 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Adunați 180 cu 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Factor t^{2}-24t+144. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Simplificați.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$t=30 t=-6$$