Rezolvați t^2+5t-24=0

$$t ^ { 2 } + 5 t - 24 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t=-8$$

$$t=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul t^{2}+5t-24 utilizând formula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-3 b=8$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(t+a\right)\left(t+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(t-3\right)\left(t+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-3=0 și t+8=0.

$$t=3 t=-8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca t^{2}+at+bt-24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-3 b=8$$

Rescrieți t^{2}+5t-24 ca \left(t^{2}-3t\right)+\left(8t-24\right).

$$\left(t^{2}-3t\right)+\left(8t-24\right)$$

Factor t în primul și 8 în al doilea grup.

$$t\left(t-3\right)+8\left(t-3\right)$$

Scoateți termenul comun t-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-3\right)\left(t+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-3=0 și t+8=0.

$$t=3 t=-8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$t^{2}+5t-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 5 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -24.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2}$$

Adunați 25 cu 96.

$$t=\frac{-5±\sqrt{121}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$t=\frac{-5±11}{2}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-5±11}{2} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 11.

$$t=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$t=3$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-5±11}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -5.

$$t=-\frac{16}{2}$$

Împărțiți -16 la 2.

$$t=-8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=3 t=-8$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$t^{2}+5t-24=0$$

Adunați 24 la ambele părți ale ecuației.

$$t^{2}+5t-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Scăderea -24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$t^{2}+5t=-\left(-24\right)$$

Scădeți -24 din 0.

$$t^{2}+5t=24$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+5t+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}+5t+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Adunați 24 cu \frac{25}{4}.

$$t^{2}+5t+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor t^{2}+5t+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$t+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} t+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$t=3 t=-8$$