Rezolvați r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Rezolvați pentru r

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -22 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Ridicați -22 la pătrat.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Adunați 484 cu 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Opusul lui -22 este 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 22 cu 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Împărțiți 22+16\sqrt{2} la 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 16\sqrt{2} din 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Împărțiți 22-16\sqrt{2} la 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Scădeți -7 din 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Împărțiți -22, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -11. Apoi, adunați pătratul lui -11 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Adunați 7 cu 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Factor r^{2}-22r+121. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Simplificați.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Adunați 11 la ambele părți ale ecuației.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$