Rezolvați n^{4}+6n^3+11n^2+6n+4n^3+24n^2+44n+24

$$n ^ { 4 } + 6 n ^ { 3 } + 11 n ^ { 2 } + 6 n + 4 n ^ { 3 } + 24 n ^ { 2 } + 44 n + 24$$

Evaluați

$$\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)$$

Pașii soluției

Combinați 6n^{3} cu 4n^{3} pentru a obține 10n^{3}.

$$n^{4}+10n^{3}+11n^{2}+6n+24n^{2}+44n+24$$

Combinați 11n^{2} cu 24n^{2} pentru a obține 35n^{2}.

$$n^{4}+10n^{3}+35n^{2}+6n+44n+24$$

Combinați 6n cu 44n pentru a obține 50n.

$$n^{4}+10n^{3}+35n^{2}+50n+24$$

Descompunere în factori

$$\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)$$

Pașii soluției

Înmulțiți și combinați termenii similari.

$$n^{4}+10n^{3}+35n^{2}+50n+24$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 24 și q împarte coeficientul inițial 1. O astfel de rădăcină este -4. Descompuneți în factori polinomul împărțindu-l la n+4.

$$\left(n+4\right)\left(n^{3}+6n^{2}+11n+6\right)$$

Să luăm n^{3}+6n^{2}+11n+6. Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 6 și q împarte coeficientul inițial 1. O astfel de rădăcină este -3. Descompuneți în factori polinomul împărțindu-l la n+3.

$$\left(n+3\right)\left(n^{2}+3n+2\right)$$

Să luăm n^{2}+3n+2. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca n^{2}+an+bn+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=1 b=2$$

Rescrieți n^{2}+3n+2 ca \left(n^{2}+n\right)+\left(2n+2\right).

$$\left(n^{2}+n\right)+\left(2n+2\right)$$

Factor n în primul și 2 în al doilea grup.

$$n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)$$

Scoateți termenul comun n+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n+1\right)\left(n+2\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)$$