Rezolvați n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul n^{2}-n-210 utilizând formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-15 b=14$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(n+a\right)\left(n+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-15=0 și n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca n^{2}+an+bn-210. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-15 b=14$$

Rescrieți n^{2}-n-210 ca \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Factor n în primul și 14 în al doilea grup.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Scoateți termenul comun n-15 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-15=0 și n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n^{2}-n-210=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -1 și c cu -210 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Adunați 1 cu 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{1±29}{2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Împărțiți 30 la 2.

$$n=15$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{1±29}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 29 din 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Împărțiți -28 la 2.

$$n=-14$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=15 n=-14$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Adunați 210 la ambele părți ale ecuației.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Scăderea -210 din el însuși are ca rezultat 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Scădeți -210 din 0.

$$n^{2}-n=210$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Adunați 210 cu \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Factor n^{2}-n+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$n=15 n=-14$$