Rezolvați n^2-n=272

$$n ^ { 2 } - n = 272$$

Rezolvați pentru n

$$n=-16$$

$$n=17$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Scădeți 272 din ambele părți.

$$n^{2}-n-272=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul n^{2}-n-272 utilizând formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=-272$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -272.

$$1,-272 2,-136 4,-68 8,-34 16,-17$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-272=-271 2-136=-134 4-68=-64 8-34=-26 16-17=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-17 b=16$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(n+a\right)\left(n+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(n-17\right)\left(n+16\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-17=0 și n+16=0.

$$n=17 n=-16$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 272 din ambele părți.

$$n^{2}-n-272=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca n^{2}+an+bn-272. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=1\left(-272\right)=-272$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -272.

$$1,-272 2,-136 4,-68 8,-34 16,-17$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-272=-271 2-136=-134 4-68=-64 8-34=-26 16-17=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-17 b=16$$

Rescrieți n^{2}-n-272 ca \left(n^{2}-17n\right)+\left(16n-272\right).

$$\left(n^{2}-17n\right)+\left(16n-272\right)$$

Factor n în primul și 16 în al doilea grup.

$$n\left(n-17\right)+16\left(n-17\right)$$

Scoateți termenul comun n-17 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-17\right)\left(n+16\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-17=0 și n+16=0.

$$n=17 n=-16$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n^{2}-n=272$$

Scădeți 272 din ambele părți ale ecuației.

$$n^{2}-n-272=272-272$$

Scăderea 272 din el însuși are ca rezultat 0.

$$n^{2}-n-272=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -1 și c cu -272 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-272\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -272.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+1088}}{2}$$

Adunați 1 cu 1088.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1089}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1089.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±33}{2}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$n=\frac{1±33}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{1±33}{2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 33.

$$n=\frac{34}{2}$$

Împărțiți 34 la 2.

$$n=17$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{1±33}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 33 din 1.

$$n=-\frac{32}{2}$$

Împărțiți -32 la 2.

$$n=-16$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=17 n=-16$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=272$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=272+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=272+\frac{1}{4}$$

Adunați 272 cu \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{1089}{4}$$

Factor n^{2}-n+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1089}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1089}{4}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{33}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{33}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$n=17 n=-16$$