Rezolvați n^2-8n=-15

$$n ^ { 2 } - 8 n = - 15$$

Rezolvați pentru n

$$n=3$$

$$n=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Adăugați 15 la ambele părți.

$$n^{2}-8n+15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul n^{2}-8n+15 utilizând formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-5 b=-3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(n+a\right)\left(n+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(n-5\right)\left(n-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-5=0 și n-3=0.

$$n=5 n=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 15 la ambele părți.

$$n^{2}-8n+15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca n^{2}+an+bn+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-5 b=-3$$

Rescrieți n^{2}-8n+15 ca \left(n^{2}-5n\right)+\left(-3n+15\right).

$$\left(n^{2}-5n\right)+\left(-3n+15\right)$$

Factor n în primul și -3 în al doilea grup.

$$n\left(n-5\right)-3\left(n-5\right)$$

Scoateți termenul comun n-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-5\right)\left(n-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-5=0 și n-3=0.

$$n=5 n=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n^{2}-8n=-15$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$n^{2}-8n-\left(-15\right)=-15-\left(-15\right)$$

Scăderea -15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$n^{2}-8n-\left(-15\right)=0$$

Scădeți -15 din 0.

$$n^{2}-8n+15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -8 și c cu 15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15}}{2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2}$$

Adunați 64 cu -60.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±2}{2}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$n=\frac{8±2}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{8±2}{2} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 2.

$$n=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$n=5$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{8±2}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din 8.

$$n=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$n=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=5 n=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-8n=-15$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-8n+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$n^{2}-8n+16=-15+16$$

Adunați -15 cu 16.

$$n^{2}-8n+16=1$$

Factor n^{2}-8n+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-4\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$n-4=1 n-4=-1$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$n=5 n=3$$