Rezolvați n^2-21n+98=0

$$n ^ { 2 } - 21 n + 98 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n=7$$

$$n=14$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul n^{2}-21n+98 utilizând formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-21 ab=98$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 98.

$$-1,-98 -2,-49 -7,-14$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-98=-99 -2-49=-51 -7-14=-21$$

Soluția este perechea care dă suma de -21.

$$a=-14 b=-7$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(n+a\right)\left(n+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(n-14\right)\left(n-7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-14=0 și n-7=0.

$$n=14 n=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca n^{2}+an+bn+98. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-21 ab=1\times 98=98$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 98.

$$-1,-98 -2,-49 -7,-14$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-98=-99 -2-49=-51 -7-14=-21$$

Soluția este perechea care dă suma de -21.

$$a=-14 b=-7$$

Rescrieți n^{2}-21n+98 ca \left(n^{2}-14n\right)+\left(-7n+98\right).

$$\left(n^{2}-14n\right)+\left(-7n+98\right)$$

Factor n în primul și -7 în al doilea grup.

$$n\left(n-14\right)-7\left(n-14\right)$$

Scoateți termenul comun n-14 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-14\right)\left(n-7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-14=0 și n-7=0.

$$n=14 n=7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n^{2}-21n+98=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -21 și c cu 98 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 98}}{2}$$

Ridicați -21 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 98}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 98.

$$n=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-392}}{2}$$

Adunați 441 cu -392.

$$n=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$n=\frac{-\left(-21\right)±7}{2}$$

Opusul lui -21 este 21.

$$n=\frac{21±7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{21±7}{2} atunci când ± este plus. Adunați 21 cu 7.

$$n=\frac{28}{2}$$

Împărțiți 28 la 2.

$$n=14$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{21±7}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 21.

$$n=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$n=7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=14 n=7$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-21n+98=0$$

Scădeți 98 din ambele părți ale ecuației.

$$n^{2}-21n+98-98=-98$$

Scăderea 98 din el însuși are ca rezultat 0.

$$n^{2}-21n=-98$$

Împărțiți -21, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{21}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{21}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-98+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{21}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-98+\frac{441}{4}$$

Adunați -98 cu \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor n^{2}-21n+\frac{441}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{7}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{21}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$n=14 n=7$$