Rezolvați n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul n^{2}-11n-60 utilizând formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-15 b=4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(n+a\right)\left(n+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-15=0 și n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca n^{2}+an+bn-60. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-15 b=4$$

Rescrieți n^{2}-11n-60 ca \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Factor n în primul și 4 în al doilea grup.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Scoateți termenul comun n-15 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-15=0 și n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -11 și c cu -60 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Adunați 121 cu 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{11±19}{2} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Împărțiți 30 la 2.

$$n=15$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{11±19}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$n=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=15 n=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Adunați 60 la ambele părți ale ecuației.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Scăderea -60 din el însuși are ca rezultat 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Scădeți -60 din 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Împărțiți -11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Adunați 60 cu \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Factor n^{2}-11n+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Adunați \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$n=15 n=-4$$