Rezolvați n^2+n-102=0

$$n ^ { 2 } + n - 102 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n = \frac{\sqrt{409} - 1}{2} \approx 9,611874208$$

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}\approx -10,611874208$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n^{2}+n-102=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu -102 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-102\right)}}{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-102\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -102.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+408}}{2}$$

Adunați 1 cu 408.

$$n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \sqrt{409}.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{409} din -1.

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+n-102=0$$

Adunați 102 la ambele părți ale ecuației.

$$n^{2}+n-102-\left(-102\right)=-\left(-102\right)$$

Scăderea -102 din el însuși are ca rezultat 0.

$$n^{2}+n=-\left(-102\right)$$

Scădeți -102 din 0.

$$n^{2}+n=102$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=102+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=102+\frac{1}{4}$$

Adunați 102 cu \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{409}{4}$$

Factor n^{2}+n+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$