Rezolvați n+1=n^2-1

$$n + 1 = n ^ { 2 } - 1$$

Rezolvați pentru n

$$n=-1$$

$$n=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți n^{2} din ambele părți.

$$n+1-n^{2}=-1$$

Adăugați 1 la ambele părți.

$$n+1-n^{2}+1=0$$

Adunați 1 și 1 pentru a obține 2.

$$n+2-n^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-n^{2}+n+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -n^{2}+an+bn+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=2 b=-1$$

Rescrieți -n^{2}+n+2 ca \left(-n^{2}+2n\right)+\left(-n+2\right).

$$\left(-n^{2}+2n\right)+\left(-n+2\right)$$

Factor -n în primul și -1 în al doilea grup.

$$-n\left(n-2\right)-\left(n-2\right)$$

Scoateți termenul comun n-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-2\right)\left(-n-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-2=0 și -n-1=0.

$$n=2 n=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți n^{2} din ambele părți.

$$n+1-n^{2}=-1$$

Adăugați 1 la ambele părți.

$$n+1-n^{2}+1=0$$

Adunați 1 și 1 pentru a obține 2.

$$n+2-n^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-n^{2}+n+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 1 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 2.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu 8.

$$n=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$n=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$n=\frac{-1±3}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-1±3}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 3.

$$n=\frac{2}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$n=-1$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-1±3}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -1.

$$n=-\frac{4}{-2}$$

Împărțiți -4 la -2.

$$n=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=-1 n=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți n^{2} din ambele părți.

$$n+1-n^{2}=-1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$n-n^{2}=-1-1$$

Scădeți 1 din -1 pentru a obține -2.

$$n-n^{2}=-2$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+n=-2$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-n^{2}+n}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$n^{2}+\frac{1}{-1}n=-\frac{2}{-1}$$

Împărțiți 1 la -1.

$$n^{2}-n=-\frac{2}{-1}$$

Împărțiți -2 la -1.

$$n^{2}-n=2$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adunați 2 cu \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor n^{2}-n+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$n=2 n=-1$$