Rezolvați k^2-k-2<0

$$k ^ { 2 } - k - 2 < 0$$

Rezolvați pentru k

$$k\in \left(-1,2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$k^{2}-k-2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -1 și c cu -2.

$$k=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$k=\frac{1±3}{2}$$

Rezolvați ecuația k=\frac{1±3}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$k=2 k=-1$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$\left(k-2\right)\left(k+1\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, k-2 și k+1 trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care k-2 este pozitiv și k+1 este negativ.

$$k-2>0 k+1<0$$

Este fals pentru orice k.

$$k\in \emptyset$$

Tratați cazul în care k+1 este pozitiv și k-2 este negativ.

$$k+1>0 k-2<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este k\in \left(-1,2\right).

$$k\in \left(-1,2\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$k\in \left(-1,2\right)$$