Rezolvați g(p)=-60p^2+50p+10

$$g ( p ) = - 60 p ^ { 2 } + 50 p + 10$$

Descompunere în factori

$$10\left(1-p\right)\left(6p+1\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 10.

$$10\left(-6p^{2}+5p+1\right)$$

Să luăm -6p^{2}+5p+1. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -6p^{2}+ap+bp+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=-6=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=6 b=-1$$

Rescrieți -6p^{2}+5p+1 ca \left(-6p^{2}+6p\right)+\left(-p+1\right).

$$\left(-6p^{2}+6p\right)+\left(-p+1\right)$$

Scoateți factorul comun 6p din -6p^{2}+6p.

$$6p\left(-p+1\right)-p+1$$

Scoateți termenul comun -p+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-p+1\right)\left(6p+1\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$10\left(-p+1\right)\left(6p+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-60p^{2}+50p+10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$p=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-60\right)\times 10}}{2\left(-60\right)}$$

Ridicați 50 la pătrat.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-60\right)\times 10}}{2\left(-60\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -60.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500+240\times 10}}{2\left(-60\right)}$$

Înmulțiți 240 cu 10.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500+2400}}{2\left(-60\right)}$$

Adunați 2500 cu 2400.

$$p=\frac{-50±\sqrt{4900}}{2\left(-60\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4900.

$$p=\frac{-50±70}{2\left(-60\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -60.

$$p=\frac{-50±70}{-120}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{-50±70}{-120} atunci când ± este plus. Adunați -50 cu 70.

$$p=\frac{20}{-120}$$

Reduceți fracția \frac{20}{-120} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 20.

$$p=-\frac{1}{6}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{-50±70}{-120} atunci când ± este minus. Scădeți 70 din -50.

$$p=-\frac{120}{-120}$$

Împărțiți -120 la -120.

$$p=1$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{1}{6} și x_{2} cu 1.

$$-60p^{2}+50p+10=-60\left(p-\left(-\frac{1}{6}\right)\right)\left(p-1\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$-60p^{2}+50p+10=-60\left(p+\frac{1}{6}\right)\left(p-1\right)$$

Adunați \frac{1}{6} cu p găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-60p^{2}+50p+10=-60\times \frac{-6p-1}{-6}\left(p-1\right)$$

Simplificați cu 6, cel mai mare factor comun din -60 și 6.

$$-60p^{2}+50p+10=10\left(-6p-1\right)\left(p-1\right)$$

Evaluați

$$10+50p-60p^{2}$$