Rezolvați f(x)=25x^2+100x+99

$$f ( x ) = 25 x ^ { 2 } + 100 x + 99$$

Descompunere în factori

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 25x^{2}+ax+bx+99. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=100 ab=25\times 99=2475$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 2475.

$$1,2475 3,825 5,495 9,275 11,225 15,165 25,99 33,75 45,55$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+2475=2476 3+825=828 5+495=500 9+275=284 11+225=236 15+165=180 25+99=124 33+75=108 45+55=100$$

Soluția este perechea care dă suma de 100.

$$a=45 b=55$$

Rescrieți 25x^{2}+100x+99 ca \left(25x^{2}+45x\right)+\left(55x+99\right).

$$\left(25x^{2}+45x\right)+\left(55x+99\right)$$

Factor 5x în primul și 11 în al doilea grup.

$$5x\left(5x+9\right)+11\left(5x+9\right)$$

Scoateți termenul comun 5x+9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$25x^{2}+100x+99=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\times 25\times 99}}{2\times 25}$$

Ridicați 100 la pătrat.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\times 25\times 99}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-100\times 99}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu 99.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-9900}}{2\times 25}$$

Adunați 10000 cu -9900.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-100±10}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{-100±10}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-100±10}{50} atunci când ± este plus. Adunați -100 cu 10.

$$x=-\frac{90}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-90}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-100±10}{50} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -100.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-110}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{9}{5} și x_{2} cu -\frac{11}{5}.

$$25x^{2}+100x+99=25\left(x-\left(-\frac{9}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{11}{5}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$25x^{2}+100x+99=25\left(x+\frac{9}{5}\right)\left(x+\frac{11}{5}\right)$$

Adunați \frac{9}{5} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{5x+9}{5}\left(x+\frac{11}{5}\right)$$

Adunați \frac{11}{5} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{5x+9}{5}\times \frac{5x+11}{5}$$

Înmulțiți \frac{5x+9}{5} cu \frac{5x+11}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)}{5\times 5}$$

Înmulțiți 5 cu 5.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)}{25}$$

Simplificați cu 25, cel mai mare factor comun din 25 și 25.

$$25x^{2}+100x+99=\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Evaluați

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$