Rezolvați f(x)=12x^3-17x^2-20x+25

$$f ( x ) = 12 x ^ { 3 } - 17 x ^ { 2 } - 20 x + 25$$

Descompunere în factori

$$\left(x-1\right)\left(3x-5\right)\left(4x+5\right)$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 25 și q împarte coeficientul inițial 12. O astfel de rădăcină este \frac{5}{3}. Descompuneți în factori polinomul împărțindu-l la 3x-5.

$$\left(3x-5\right)\left(4x^{2}+x-5\right)$$

Să luăm 4x^{2}+x-5. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-4 b=5$$

Rescrieți 4x^{2}+x-5 ca \left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right)$$

Factor 4x în primul și 5 în al doilea grup.

$$4x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(4x+5\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$\left(3x-5\right)\left(x-1\right)\left(4x+5\right)$$

Evaluați

$$\left(x-1\right)\left(3x-5\right)\left(4x+5\right)$$