Rezolvați f(x)=siny

$$f ( x ) = \sin y$$

Calculați derivata în funcție de y

$$\cos(y)$$

Pași folosind definiția unei derivate

Pentru o funcție f\left(x\right), derivata este limită de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} când h tinde spre 0, dacă există această limită.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Utilizați formula de sumă pentru sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Scoateți factorul comun \sin(y).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Rescrieți limita.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Utilizați faptul că y este o constantă atunci când calculați limitele, când h tinde spre 0.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Limita \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} este 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

Pentru a evalua limita \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, înmulțiți mai întâi numărătorul și numitorul cu \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Înmulțiți \cos(h)+1 cu \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Folosiți identitatea lui Pitagora.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Rescrieți limita.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Limita \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} este 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Utilizați faptul că \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} este continuă în 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Înlocuiți valoarea 0 în expresia \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y).

$$\cos(y)$$

Evaluați

$$\sin(y)$$