Rezolvați f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

Evaluați

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Deoarece \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int t^{3}\mathrm{d}t cu \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Deoarece \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int t^{2}\mathrm{d}t cu \frac{t^{3}}{3}. Înmulțiți 2 cu \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

Găsiți integral 1 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Simplificați.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Calculați derivata în funcție de x

$$x^{3}+2x^{2}+1$$