Rezolvați f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Evaluați

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Deoarece \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int t^{2}\mathrm{d}t cu \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Deoarece \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int t\mathrm{d}t cu \frac{t^{2}}{2}. Înmulțiți -1 cu \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Simplificați.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Calculați derivata în funcție de x

$$x\left(x-1\right)$$