Rezolvați f(x)=x/x^2+5x+6

$$f ( x ) = \frac { x } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 }$$

Calculați derivata în funcție de x

$$\frac{6-x^{2}}{\left(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right)^{2}}$$

Pași folosind regula de derivare pentru cât

Pentru orice două funcții diferențiabile, derivata câtului celor două funcții este numitorul înmulțit cu derivata numărătorului, minus numărătorul înmulțit cu derivata numitorului, totul împărțit la numitorul la pătrat.

$$\frac{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1})-x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+5x^{1}+6)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Derivata unui polinom este suma derivatelor termenilor săi. Derivata unui termen constant este 0. Derivata lui ax^{n} este nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)x^{1-1}-x^{1}\left(2x^{2-1}+5x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Simplificați.

$$\frac{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)x^{0}-x^{1}\left(2x^{1}+5x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Înmulțiți x^{2}+5x^{1}+6 cu x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}+5x^{1}x^{0}+6x^{0}-x^{1}\left(2x^{1}+5x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Înmulțiți x^{1} cu 2x^{1}+5x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}+5x^{1}x^{0}+6x^{0}-\left(x^{1}\times 2x^{1}+x^{1}\times 5x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Pentru a înmulți puterile cu aceleași baze, adunați exponenții lor.

$$\frac{x^{2}+5x^{1}+6x^{0}-\left(2x^{1+1}+5x^{1}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Simplificați.

$$\frac{x^{2}+5x^{1}+6x^{0}-\left(2x^{2}+5x^{1}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Combinați termenii asemenea.

$$\frac{-x^{2}+6x^{0}}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t, t^{1}=t.

$$\frac{-x^{2}+6x^{0}}{\left(x^{2}+5x+6\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t cu excepția lui 0, t^{0}=1.

$$\frac{-x^{2}+6\times 1}{\left(x^{2}+5x+6\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t, t\times 1=t și 1t=t.

$$\frac{-x^{2}+6}{\left(x^{2}+5x+6\right)^{2}}$$

Evaluați

$$\frac{x}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}$$