Rezolvați f(t)=4+30t-16t^2

$$f ( t ) = 4 + 30 t - 16 t ^ { 2 }$$

Descompunere în factori

$$2\left(2-t\right)\left(8t+1\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 2.

$$2\left(2+15t-8t^{2}\right)$$

Să luăm 2+15t-8t^{2}. Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-8t^{2}+15t+2$$

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -8t^{2}+at+bt+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=15 ab=-8\times 2=-16$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -16.

$$-1,16 -2,8 -4,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+16=15 -2+8=6 -4+4=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 15.

$$a=16 b=-1$$

Rescrieți -8t^{2}+15t+2 ca \left(-8t^{2}+16t\right)+\left(-t+2\right).

$$\left(-8t^{2}+16t\right)+\left(-t+2\right)$$

Scoateți factorul comun 8t din -8t^{2}+16t.

$$8t\left(-t+2\right)-t+2$$

Scoateți termenul comun -t+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-t+2\right)\left(8t+1\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$2\left(-t+2\right)\left(8t+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+30t+4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$t=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-16\right)\times 4}}{2\left(-16\right)}$$

Ridicați 30 la pătrat.

$$t=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-16\right)\times 4}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$t=\frac{-30±\sqrt{900+64\times 4}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 64 cu 4.

$$t=\frac{-30±\sqrt{900+256}}{2\left(-16\right)}$$

Adunați 900 cu 256.

$$t=\frac{-30±\sqrt{1156}}{2\left(-16\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1156.

$$t=\frac{-30±34}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -16.

$$t=\frac{-30±34}{-32}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-30±34}{-32} atunci când ± este plus. Adunați -30 cu 34.

$$t=\frac{4}{-32}$$

Reduceți fracția \frac{4}{-32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$t=-\frac{1}{8}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-30±34}{-32} atunci când ± este minus. Scădeți 34 din -30.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Împărțiți -64 la -32.

$$t=2$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{1}{8} și x_{2} cu 2.

$$-16t^{2}+30t+4=-16\left(t-\left(-\frac{1}{8}\right)\right)\left(t-2\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$-16t^{2}+30t+4=-16\left(t+\frac{1}{8}\right)\left(t-2\right)$$

Adunați \frac{1}{8} cu t găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-16t^{2}+30t+4=-16\times \frac{-8t-1}{-8}\left(t-2\right)$$

Simplificați cu 8, cel mai mare factor comun din -16 și 8.

$$-16t^{2}+30t+4=2\left(-8t-1\right)\left(t-2\right)$$

Evaluați

$$4+30t-16t^{2}$$