Rezolvați d^2-18d+45=0

$$d ^ { 2 } - 18 d + 45 = 0$$

Rezolvați pentru d

$$d=3$$

$$d=15$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul d^{2}-18d+45 utilizând formula d^{2}+\left(a+b\right)d+ab=\left(d+a\right)\left(d+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-18 ab=45$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 45.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -18.

$$a=-15 b=-3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(d+a\right)\left(d+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(d-15\right)\left(d-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați d-15=0 și d-3=0.

$$d=15 d=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca d^{2}+ad+bd+45. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-18 ab=1\times 45=45$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 45.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -18.

$$a=-15 b=-3$$

Rescrieți d^{2}-18d+45 ca \left(d^{2}-15d\right)+\left(-3d+45\right).

$$\left(d^{2}-15d\right)+\left(-3d+45\right)$$

Factor d în primul și -3 în al doilea grup.

$$d\left(d-15\right)-3\left(d-15\right)$$

Scoateți termenul comun d-15 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(d-15\right)\left(d-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați d-15=0 și d-3=0.

$$d=15 d=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$d^{2}-18d+45=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -18 și c cu 45 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$d=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 45}}{2}$$

Ridicați -18 la pătrat.

$$d=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 45}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 45.

$$d=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-180}}{2}$$

Adunați 324 cu -180.

$$d=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$d=\frac{-\left(-18\right)±12}{2}$$

Opusul lui -18 este 18.

$$d=\frac{18±12}{2}$$

Acum rezolvați ecuația d=\frac{18±12}{2} atunci când ± este plus. Adunați 18 cu 12.

$$d=\frac{30}{2}$$

Împărțiți 30 la 2.

$$d=15$$

Acum rezolvați ecuația d=\frac{18±12}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 18.

$$d=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$d=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$d=15 d=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$d^{2}-18d+45=0$$

Scădeți 45 din ambele părți ale ecuației.

$$d^{2}-18d+45-45=-45$$

Scăderea 45 din el însuși are ca rezultat 0.

$$d^{2}-18d=-45$$

Împărțiți -18, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -9. Apoi, adunați pătratul lui -9 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$d^{2}-18d+\left(-9\right)^{2}=-45+\left(-9\right)^{2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$d^{2}-18d+81=-45+81$$

Adunați -45 cu 81.

$$d^{2}-18d+81=36$$

Factor d^{2}-18d+81. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(d-9\right)^{2}=36$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(d-9\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Simplificați.

$$d-9=6 d-9=-6$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$d=15 d=3$$