Rezolvați b^2-11b+30=0

$$b ^ { 2 } - 11 b + 30 = 0$$

Rezolvați pentru b

$$b=5$$

$$b=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul b^{2}-11b+30 utilizând formula b^{2}+\left(a+b\right)b+ab=\left(b+a\right)\left(b+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-6 b=-5$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(b+a\right)\left(b+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(b-6\right)\left(b-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați b-6=0 și b-5=0.

$$b=6 b=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca b^{2}+ab+bb+30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=1\times 30=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-6 b=-5$$

Rescrieți b^{2}-11b+30 ca \left(b^{2}-6b\right)+\left(-5b+30\right).

$$\left(b^{2}-6b\right)+\left(-5b+30\right)$$

Factor b în primul și -5 în al doilea grup.

$$b\left(b-6\right)-5\left(b-6\right)$$

Scoateți termenul comun b-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(b-6\right)\left(b-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați b-6=0 și b-5=0.

$$b=6 b=5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$b^{2}-11b+30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -11 și c cu 30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$b=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 30}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 30.

$$b=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2}$$

Adunați 121 cu -120.

$$b=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$b=\frac{-\left(-11\right)±1}{2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$b=\frac{11±1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{11±1}{2} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 1.

$$b=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$b=6$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{11±1}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 11.

$$b=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$b=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$b=6 b=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$b^{2}-11b+30=0$$

Scădeți 30 din ambele părți ale ecuației.

$$b^{2}-11b+30-30=-30$$

Scăderea 30 din el însuși are ca rezultat 0.

$$b^{2}-11b=-30$$

Împărțiți -11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$b^{2}-11b+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$b^{2}-11b+\frac{121}{4}=-30+\frac{121}{4}$$

Adunați -30 cu \frac{121}{4}.

$$b^{2}-11b+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor b^{2}-11b+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$b-\frac{11}{2}=\frac{1}{2} b-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$b=6 b=5$$