Rezolvați a^5-6a^4+16a^3-32a^2+48a-32

$$a ^ { 5 } - 6 a ^ { 4 } + 16 a ^ { 3 } - 32 a ^ { 2 } + 48 a - 32$$

Descompunere în factori

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -32 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$a=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, a-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32 la a-2 pentru a obține a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 16 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$a=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, a-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 la a-2 pentru a obține a^{3}-2a^{2}+4a-8. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$a^{3}-2a^{2}+4a-8=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -8 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$a=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, a-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți a^{3}-2a^{2}+4a-8 la a-2 pentru a obține a^{2}+4. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$a^{2}+4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu 4.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Faceți calculele.

$$a=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Polinomul a^{2}+4 nu este descompus în factori, pentru că nu are rădăcini raționale.

$$a^{2}+4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute.

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Evaluați

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$