Rezolvați a^4-20a^2+64

$$a ^ { 4 } - 20 a ^ { 2 } + 64$$

Descompunere în factori

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$a^{4}-20a^{2}+64=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 64 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$a=2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, a-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți a^{4}-20a^{2}+64 la a-2 pentru a obține a^{3}+2a^{2}-16a-32. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$a^{3}+2a^{2}-16a-32=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -32 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$a=-2$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, a-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți a^{3}+2a^{2}-16a-32 la a+2 pentru a obține a^{2}-16. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$a^{2}-16=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu -16.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$a=\frac{0±8}{2}$$

Rezolvați ecuația a^{2}-16=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$a=-4 a=4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute.

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Evaluați

$$a^{4}-20a^{2}+64$$