Rezolvați a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Rezolvați pentru a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -68 și c cu 225.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Faceți calculele.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Rezolvați ecuația a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Pentru ca produsul să fie ≤0, una dintre valorile a-\left(7\sqrt{19}+34\right) și a-\left(34-7\sqrt{19}\right) trebuie să fie ≥0 și cealaltă trebuie să fie ≤0. Luați în considerare cazul în care a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 și a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Este fals pentru orice a.

$$a\in \emptyset$$

Luați în considerare cazul în care a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 și a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$