Rezolvați a^2+8a-9=96

$$a ^ { 2 } + 8 a - 9 = 96$$

Rezolvați pentru a

$$a=-15$$

$$a=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Scădeți 96 din ambele părți.

$$a^{2}+8a-9-96=0$$

Scădeți 96 din -9 pentru a obține -105.

$$a^{2}+8a-105=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori a^{2}+8a-105 utilizând formula a^{2}+\left(a+b\right)a+ab=\left(a+a\right)\left(a+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=8 ab=-105$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -105 de produs.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=-7 b=15$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(a+a\right)\left(a+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(a-7\right)\left(a+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați a-7=0 și a+15=0.

$$a=7 a=-15$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 96 din ambele părți.

$$a^{2}+8a-9-96=0$$

Scădeți 96 din -9 pentru a obține -105.

$$a^{2}+8a-105=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca a^{2}+aa+ba-105. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=8 ab=1\left(-105\right)=-105$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -105 de produs.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=-7 b=15$$

Rescrieți a^{2}+8a-105 ca \left(a^{2}-7a\right)+\left(15a-105\right).

$$\left(a^{2}-7a\right)+\left(15a-105\right)$$

Scoateți scoateți factorul a din primul și 15 din cel de-al doilea grup.

$$a\left(a-7\right)+15\left(a-7\right)$$

Scoateți termenul comun a-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(a-7\right)\left(a+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați a-7=0 și a+15=0.

$$a=7 a=-15$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$a^{2}+8a-9=96$$

Scădeți 96 din ambele părți ale ecuației.

$$a^{2}+8a-9-96=96-96$$

Scăderea 96 din el însuși are ca rezultat 0.

$$a^{2}+8a-9-96=0$$

Scădeți 96 din -9.

$$a^{2}+8a-105=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 8 și c cu -105 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-105\right)}}{2}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-105\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -105.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64+420}}{2}$$

Adunați 64 cu 420.

$$a=\frac{-8±\sqrt{484}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 484.

$$a=\frac{-8±22}{2}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-8±22}{2} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 22.

$$a=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$a=7$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-8±22}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 22 din -8.

$$a=-\frac{30}{2}$$

Împărțiți -30 la 2.

$$a=-15$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=7 a=-15$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$a^{2}+8a-9=96$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$a^{2}+8a-9-\left(-9\right)=96-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$a^{2}+8a=96-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 96.

$$a^{2}+8a=105$$

Împărțiți 8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 4. Apoi, adunați pătratul lui 4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}+8a+4^{2}=105+4^{2}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$a^{2}+8a+16=105+16$$

Adunați 105 cu 16.

$$a^{2}+8a+16=121$$

Factorul a^{2}+8a+16. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+4\right)^{2}=121$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a+4\right)^{2}}=\sqrt{121}$$

Simplificați.

$$a+4=11 a+4=-11$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$a=7 a=-15$$