Rezolvați Y^2-7Y+10=0

$$Y ^ { 2 } - 7 Y + 10 = 0$$

Rezolvați pentru Y

$$Y=2$$

$$Y=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul Y^{2}-7Y+10 utilizând formula Y^{2}+\left(a+b\right)Y+ab=\left(Y+a\right)\left(Y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=10$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-5 b=-2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(Y+a\right)\left(Y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(Y-5\right)\left(Y-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați Y-5=0 și Y-2=0.

$$Y=5 Y=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca Y^{2}+aY+bY+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-5 b=-2$$

Rescrieți Y^{2}-7Y+10 ca \left(Y^{2}-5Y\right)+\left(-2Y+10\right).

$$\left(Y^{2}-5Y\right)+\left(-2Y+10\right)$$

Factor Y în primul și -2 în al doilea grup.

$$Y\left(Y-5\right)-2\left(Y-5\right)$$

Scoateți termenul comun Y-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(Y-5\right)\left(Y-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați Y-5=0 și Y-2=0.

$$Y=5 Y=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$Y^{2}-7Y+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -7 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10}}{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2}$$

Adunați 49 cu -40.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±3}{2}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$Y=\frac{7±3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația Y=\frac{7±3}{2} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 3.

$$Y=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$Y=5$$

Acum rezolvați ecuația Y=\frac{7±3}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din 7.

$$Y=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$Y=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$Y=5 Y=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$Y^{2}-7Y+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$Y^{2}-7Y+10-10=-10$$

Scăderea 10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$Y^{2}-7Y=-10$$

Împărțiți -7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$Y^{2}-7Y+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Adunați -10 cu \frac{49}{4}.

$$Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(Y-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(Y-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$Y-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} Y-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$Y=5 Y=2$$