Rezolvați M(x)=-25x^2+100x+8000

$$M ( x ) = - 25 x ^ { 2 } + 100 x + 8000$$

Descompunere în factori

$$-25\left(x-20\right)\left(x+16\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 25.

$$25\left(-x^{2}+4x+320\right)$$

Să luăm -x^{2}+4x+320. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+320. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=-320=-320$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -320.

$$-1,320 -2,160 -4,80 -5,64 -8,40 -10,32 -16,20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+320=319 -2+160=158 -4+80=76 -5+64=59 -8+40=32 -10+32=22 -16+20=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 4.

$$a=20 b=-16$$

Rescrieți -x^{2}+4x+320 ca \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-16x+320\right).

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-16x+320\right)$$

Factor -x în primul și -16 în al doilea grup.

$$-x\left(x-20\right)-16\left(x-20\right)$$

Scoateți termenul comun x-20 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-20\right)\left(-x-16\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$25\left(x-20\right)\left(-x-16\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-25x^{2}+100x+8000=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-25\right)\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

Ridicați 100 la pătrat.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-25\right)\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -25.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+100\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

Înmulțiți 100 cu 8000.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+800000}}{2\left(-25\right)}$$

Adunați 10000 cu 800000.

$$x=\frac{-100±\sqrt{810000}}{2\left(-25\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 810000.

$$x=\frac{-100±900}{2\left(-25\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -25.

$$x=\frac{-100±900}{-50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-100±900}{-50} atunci când ± este plus. Adunați -100 cu 900.

$$x=\frac{800}{-50}$$

Împărțiți 800 la -50.

$$x=-16$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-100±900}{-50} atunci când ± este minus. Scădeți 900 din -100.

$$x=-\frac{1000}{-50}$$

Împărțiți -1000 la -50.

$$x=20$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -16 și x_{2} cu 20.

$$-25x^{2}+100x+8000=-25\left(x-\left(-16\right)\right)\left(x-20\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$-25x^{2}+100x+8000=-25\left(x+16\right)\left(x-20\right)$$

Evaluați

$$-25\left(x-20\right)\left(x+16\right)$$