Rezolvați G(x)=x^4-3x^2+2

$$G ( x ) = x ^ { 4 } - 3 x ^ { 2 } + 2$$

Descompunere în factori

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-2\right)$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{4}-3x^{2}+2=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 2 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-3x^{2}+2 la x-1 pentru a obține x^{3}+x^{2}-2x-2. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{3}+x^{2}-2x-2=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -2 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+x^{2}-2x-2 la x+1 pentru a obține x^{2}-2. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{2}-2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 0 și c cu -2.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±2\sqrt{2}}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}-2=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-\sqrt{2} x=\sqrt{2}$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute. Polinomul x^{2}-2 nu este descompus în factori, pentru că nu are rădăcini raționale.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-2\right)$$

Evaluați

$$x^{4}-3x^{2}+2$$