Rezolvați {l}{x+2y=8}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+2y=8$$

Scădeți 2y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-2y+8$$

Înlocuiți x cu -2y+8 în cealaltă ecuație, x-2y=2.

$$-2y+8-2y=2$$

Adunați -2y cu -2y.

$$-4y+8=2$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$-4y=-6$$

Se împart ambele părți la -4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Înlocuiți y cu \frac{3}{2} în x=-2y+8. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-2\times \frac{3}{2}+8$$

Înmulțiți -2 cu \frac{3}{2}.

$$x=-3+8$$

Adunați 8 cu -3.

$$x=5$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Scădeți pe x-2y=2 din x+2y=8 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-x+2y+2y=8-2$$

Adunați x cu -x. Termenii x și -x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$2y+2y=8-2$$

Adunați 2y cu 2y.

$$4y=8-2$$

Adunați 8 cu -2.

$$4y=6$$

Se împart ambele părți la 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Înlocuiți y cu \frac{3}{2} în x-2y=2. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x-2\times \frac{3}{2}=2$$

Înmulțiți -2 cu \frac{3}{2}.

$$x-3=2$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=5$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$